Soit une suite réelle ou complexe. A celle-ci on peut associer la suite des sommes La suite ainsi définie est appelée la série de terme général . Le terme s'appelle la somme partielle d'ordre de la série.
On dit que la série converge lorsque la suite des sommes partielles converge. Dans ce cas, le nombre
est appelé somme de la série. Une série qui ne converge pas est dite divergente.
Etudier la nature d'une série consiste à démontrer qu'elle est convergente ou divergente.
Dans le cas d'une série convergente de somme , on appelle reste d'ordre le réel
On a toujours car la série est convergente. Il est utile de majorer la valeur absolue de pour estimer l'erreur commise lorsque l'on approxime la valeur de par .
- Série de terme général
. On peut donc calculer les sommes partielles
La série est donc convergente et on peut écrire .
- Série géométrique de terme général Les sommes partielles sont données par les formules sur les suites géométriques.
On en déduit que la série est convergente et .
- Série de terme général
. On écrit les sommes partielles qui sont télescopiques
La série est divergente.
Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, la série diverge et on dit même qu'elle est grossièrement divergente. En effet, toute série convergente a un terme général qui tend vers 0.
Soit la suite des sommes partielles d'une série convergente vers . On peut écrire
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On peut se reporter à l'exemple vu précédemment. Que le terme général de la série tende vers 0 n'est qu'une condition nécessaire de convergence. Elle n'est pas suffisante.
Un exemple à connaître. Il s'agit de la série de terme général .
Les sommes partielles sont définies par On peut montrer que l'on peut minorer par un réel non nul et donc conclure à la divergence de la série.
Si était convergente vers , alors ce qui est contradictoire.
Nous avons pu remarquer sur plusieurs exemples les simplifications effectuées sur les sommes partielles par télescopage. Nous généralisons ici ce phénomène.
La suite et la série sont de même nature.
Soit la somme partielle d'ordre de la série .La convergence de et donc directement reliée à celle de .
De nombreux théorèmes sur les séries ne sont valides que lorsque tous les termes de celle-ci sont positifs, au moins à partir d'un certain rang. Voici les principaux.
Si tous les termes de la série sont positifs, alors la suite des sommes partielles est croissante. Il y a alors équivalence entre majoration et convergence. On en déduit le théorème suivant
Tous les termes étant positifs, la série converge si et seulement si les sommes partielles sont majorées.
Tous les étant des réels positifs,
Soient et deux séries à termes positifs. On suppose qu'au moins à partir d'un certain rang, on a l'inégalité . On peut alors affirmer
- si converge, alors converge ;
- si diverge, alors diverge.
La preuve s'effectue immédiatement en utilisant les majorations des sommes partielles.
Soient et deux séries à termes positifs. Si au voisinage de , alors les séries sont de même nature.
Soient et deux séries à termes positifs avec au voisinage de . Supposons que converge.
donc il existe une suite de limite 1 telle que, pour tout à partir d'un certain rang, on a l'égalité .
On en déduit
Par comparaison, on en déduit que les deux séries sont de même nature.
Toute série de la forme avec est appelée série de Riemann.
Exemple : dont on a déjà observé la convergence.
Preuves
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Pour , on retrouve la série harmonique divergente.
Pour , alors lorsque . On a donc qui est lui-même le terme général d'une série divergente. Par comparaison, on en déduit que la série de Riemann diverge.
Pour , on peut comparer la série à l'intégrale du même nom (tracer la courbe représentative de la fonction pour mieux comprendre les inégalités qui suivent).
Et on en déduit
ce qui montre par comparaison que la série de Riemann est convergente.
On peut montrer également ce dernier résultat en posant avec et en affirmant que la suite et la série sont de même nature. Comme la suite converge, on en déduit que la série converge aussi. On montre ensuite en utilisant quelques développements limités que le terme général de la série est équivalent à , ce qui prouve le théorème dans le cas .
On donne .
On veut montrer que la suite converge, c'est-à-dire que la série harmonique diverge de manière équivalente au logarithme népérien. On s'intéresse alors à la série de terme général et on montre qu'elle est convergente.
qui est le terme général d'une série convergente d'après la règle de Riemann. On en déduit que est une série convergente. Sa limite, notée est appelée constante d'Euler. C'est le décalage asymptotique entre la série harmonique et le logarithme népérien. Sa valeur est environ 0.577.
Elle repose sur la comparaison avec une série géométrique, et ne concerne que les séries à termes positifs.
- Tous les termes de la série étant strictement positifs, s'il existe un réel tel que à partir d'un certain rang on ait alors
- Si à partir d'un certain rang, alors la série diverge grossièrement.
- donc ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement.
Les termes de la série étant strictement positifs, si tend vers , alors
- si , alors la série converge ;
- si , alors la série diverge grossièrement ;
- si , alors on ne peut conclure (cas douteux de la règle de Cauchy).
Pour , on se ramène au théorème principal en remarquant que tous les termes sont supérieurs à à partir d'un certain rang.
Pour , on peut dire que tous les termes sont supérieurs ou égaux à 1 à partir d'un certain rang.
Elle repose également sur la comparaison avec une série géométrique, et ne concerne que les séries à termes positifs.
Si on a alors on en déduit
Les quotients pourraient être qualifiés de raison instantanée des suites et .
On en déduit
On a donc Par comparaison,
si converge, alors converge, et donc converge,
et si diverge, alors diverge, et donc diverge.
- Tous les termes de la série étant strictement positifs, s'il existe un réel tel que à partir d'un certain rang on ait , alors la série converge.
- Si à partir d'un certain rang, alors la série diverge grossièrement.
- Soit . On a et donc à partir d'un certain rang On en déduit que converge.
- Si , alors et donc ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement.
Le théorème ne s'applique pas avec l'hypothèse affaiblie . Contre-exemple : la série harmonique.
Les termes de la série étant strictement positifs, si tend vers , alors
- si , alors la série converge ;
- si , alors la série diverge grossièrement ;
- si , alors on ne peut conclure (cas douteux de la règle de d'Alembert).
Comme les règles précédentes, la règle de Raabe Duhamel ne s'applique qu'aux séries à termes positifs.
Elle repose sur la comparaison de la série à étudier avec une série de Riemann.
Les termes étant strictement positifs, si tend vers , alors
- ne permet pas de conclure (cas douteux de la règle de Raabe Duhamel).
On va utiliser le lemme de la règle de d'Alembert avec une série de Riemann. Soit avec .et on peut écrire
- Pour , il existe tel que . Dans ce cas, la suite est négative à partir d'un certain rang. Le lemme de la règle de d'Alembert permet alors d'affirmer que la série est convergente car la série est convergente d'après la règle de Riemann.
- Pour , il existe tel que . Dans ce cas, la suite est positive à partir d'un certain rang. Le lemme de la règle de d'Alembert permet alors d'affirmer que la série est divergente car la série est divergente d'après la règle de Riemann.
Remarque
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- cas douteux pour d'Alembert, diverge d'après Raabe Duhamel ;
- cas douteux pour d'Alembert, converge d'après Raabe-Duhamel ;
- cas douteux pour d'Alembert et pour Raabe-Duhamel.
Dans le cas d'une série dont les termes sont les images d'une fonction décroissante et positive, les comportements de la série et de l'intégrale de la fonction sont similaires.
Si est une fonction continue sur décroissante et positive, alors on peut affirmer
- sont de même nature ;
- Si la série précédente converge, alors pour tout entier naturel non nul , on a l'encadrement
Le lecteur aura tout intérêt à s'aider d'un graphique pour comprendre pleinement les inégalités suivantes.
- On en déduit donc et on peut conclure a. si converge, alors est majorée, donc est croissante et majorée, donc la série converge ; b. si converge, alors est majorée, alors est croissante et majorée sur , donc converge (on montre que la limite de est la borne supérieure de pour .
- donc c'est-à-dire et et donc ce qui donne en passant à la limite quand tend vers
On désigne par un cas particulier de série de Bertrand.
La comparaison série-intégrale nous permet d'affirmer que converge si et seulement si .
Il s'agit de démontrer que la fonction exponentielle est développable en série entière. Pour cela on va utiliser l'inégalité de Taylor et montrer que le reste d'ordre tend vers 0. La fonction exponentielle est de classe sur donc on peut lui appliquer n'importe laquelle des formules de Taylor, et sur n'importe quel segment.
Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral à entre 0 et . La partie régulière d'ordre donne la somme partielle d'ordre :Le reste intégral de Taylor d'ordre peut se majorer en posant Montrons que ce reste tend vers 0 quand tend vers .
Soit donc est convergente d'après la règle de d'Alembert, ce qui entraîne que tend vers 0.
On en déduit que tend vers 0 et donc que la fonction exponentielle est développable en série entière.
On considère la série dans laquelle est une suite à termes réels ou complexes.
Si la série des valeurs absolues (ou modules) converge, alors on dit que est absolument convergente (ACV).
Toute série de termes réels ou complexes absolument convergente est convergente. Ce résultat est la conséquence du caractère complet de ou muni de la distance euclidienne.
Soit une série absolument convergente. Alors est convergente. Cette deuxième série vérifie donc le critère de convergence de Cauchy :Soit la somme partielle d'ordre de la première série. On peut écrirece qui montre que est de Cauchy dans ou complet, donc converge.
Si une série est convergente sans être absolument convergente, on dit qu'elle est semi convergente. Le paragraphe suivant constitue un exemple célèbre de la semi convergence.
Un exemple à connaître. La série harmonique alternée est la série avec .
Cette série n'est pas absolument convergente car la série harmonique diverge. En revanche, on peut démontrer que la série alternée converge, et même calculer sa somme égale à .
Pour démontrer la convergence, on pourra utiliser les règle de Leibniz qui suit, et la formule de Taylor pour calculer la somme en l'appliquant à la fonction sur l'intervalle .
C'est une règle qui s'applique à une série alternée, c'est-à-dire dont le terme général est un réel de la forme avec .
Soit une série alternée. Si tend vers 0 en décroissant, alors
- la série est convergente ;
- le signe du reste est celui de son premier terme , et ;
- la somme de la série est encadrée par deux sommes partielles consécutives quelconques.
- On démontre que les suites des sommes partielles de rangs pairs et impairs sont adjacentes, donc convergent vers la même limite, ce qui entraîne la convergence de la série.
- On se place dans les hypothèses du théorème et donc que la série converge.est du signe de car chacun des termes de la somme est positif du fait de la décroissance de . D'autre part, et est du signe de , c'est-à-dire du signe contraire de . On peut donc écrireque l'on sait être du signe de . On a donc et on en déduit.
- L'encadrement est la conséquence de l'adjacence des sous-suites des termes pairs et impairs.
On considère la série de terme général avec
- bornée (indépendamment de ;
- tend vers 0 en décroissant.
Alors on peut affirmer que converge.
Etude de la convergence de la série .
Il ne s'agit pas d'une série à termes positifs, ni d'une série alternée. Le terme général s'écrit comme le produit de qui tend vers 0 en décroissant, et de dont on va démontrer que les sommes partielles sont bornées.
En effet, est la partie imaginaire de qui est une somme géométrique égale à
dont le module est majoré par .
La valeur absolue de la partie imaginaire étant inférieure au égale au module, on en déduit que est majorée par le même nombre, et donc que la série est convergente d'après la règle d'Abel.
On va utiliser le critère de Cauchy pour une série ainsi que la technique de la transformation d'Abel.
Soit la somme partielle d'ordre . Pour démontrer que est de Cauchy, on va chercher à majorer pour .
On en déduit, en désignant par un majorant de et en utilisant la décroissance de :
On a obtenu une majoration indépendante de par un terme qui tend vers 0 quand tend vers . On en déduit que est une suite de Cauchy dans complet, ce qui entraîne que la série converge.